Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ

ο χρυσός φ

1. Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί κατά μία μονάδα; Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;
2. Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον ελαττώσεις κατά μία μονάδα να αντιστραφεί;
Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;
3. Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο κομμάτια. Στη γλώσσα της ελληνικής Γεωμετρίας λέμε ότι κάνουμε μια ΤΟΜΗ η οποία είναι ΧΡΥΣΗ εφόσον ο λόγος του μεγάλου προς το μικρό είναι ίσος με το λόγο ολόκληρου προς το μεγάλο. Ποια είναι η τιμή αυτού του λόγου;
4. Το κανονικό δεκάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Η ακτίνα του κύκλου είναι βέβαια μεγαλύτερη από την πλευρά του. Πόσες φορές;
5. Η ακολουθία Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 . . Καθένας από τους όρους της προκύπτει από το άθροισμα των δύο που προηγούνται. αν = αν-1 + αν-2 .
Αν φτιάξουμε μια ακολουθία με όρους τους λόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας Θα διαπιστώσουμε ότι «συγκλίνει» σε κάποιο αριθμό. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

Ο Leonardo Da Vinci δοκίμασε να δώσει απαντήσεις στα τέσσερα από τα ερωτήματα. Όσο για το πέμπτο, διαπιστώθηκε τη δεκαετία του 1970 όταν ανακαλύφθηκε το κομπιουτεράκι.



Δοκίμασε να απαντήσει στο τέταρτο. Σχεδίασε το δεκάγωνο και είδε ότι κάθε ισοσκελές τρίγωνο που δημιουργείται με μία πλευρά (L) του δεκαγώνου και δύο ακτίνες (R) στα άκρα της είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής 36 μοιρών., οπότε οι δύο άλλες γωνίες του είναι 72 μοίρες. Φέρνοντας τη διχοτόμο σε μια από τις δυο γωνίες της βάσης είδε ότι τα δυο τρίγωνα που δημιουργούνται είναι όμοια οπότε ισχύει
R/ L = L/ R-L R2- RL- L2 = 0 R = L (1+ρίζα5) /2
Η ακτίνα του κύκλου είναι (1+ρίζα5/2 φορές μεγαλύτερη από την πλευρά του κανονικού δεκαγώνου.

Για το πέμπτο, αν χρησιμοποιήσεις ένα κομπιουτεράκι, υπολόγισε τις τιμές αυτών των λόγων, σε δεκαδικούς
2/1 = 2, 3/2 = 1,5000000 , 5/3 = 1,666666, 8/5 = 1,6000000, 13/8 = 1,6250000 , 21/13 = 1,6153846, 34/21 = 1,6190476, 55/34 = 1,617647, 89/55 = 1,618181, 144/89 = 1,6179775, 233/144 = 1,6180555, 377/233 =1,6180257, 610/ 377 = 1,6180371, 987/610 = 1,6180327, 1597/987=1,6810344, 2584/1597=1,6180338, 4181/2584 = 1,6180340, 6765/4181 = 1,6180339 , 10946/6765 = 1,6180339, 17711/10946 = 1,6180339, 28657/17711 = 1,6180339, 46368/28657 = 1,6180339
θα διαπιστώσεις ότι από τον λόγο 6765/4181 και μετά, το κομπιουτεράκι φθάνει στα όρια του, στα δέκα δηλαδή ψηφία από τα οποία τα εννέα είναι δεκαδικά. Οι λόγοι που ακολουθούν δεν είναι μεταξύ τους ίσοι αλλά το κομπιουτεράκι αδυνατεί να το δείξει. Δείχνει συνεχώς έναν αριθμό ο οποίος συμπίπτει σε εννέα δεκαδικά ψηφία με τον αριθμό φ. Και είναι γεγονός ότι το όριο της ακολουθίας που είχε δημιουργήσει ο Da Vinci ήταν ο φ.


Το γενικό συμπέρασμα. Και στις τρεις περιπτώσεις ο ζητούμενος αριθμός
είναι ίσος με (1+ρίζα5) /2 ή με επτά δεκαδικά ψηφία ίσος με 1, 6180339. . .
Ο αριθμός αυτός διεθνώς συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ
Είναι ο λεγόμενος ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ή ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ.



Ο Leonardo Da Vinci μας έμαθε ότι εάν το ύψος οποιουδήποτε ανθρώπου διαιρεθεί με το ύψος στο οποίο βρίσκεται ο αφαλός του το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με φ.1700 χρόνια νωρίτερα είχε ασχοληθεί μαζί του ο Ευκλείδης αλλά τα βιβλία που αναφέρονται σε αυτόν δεν είναι κυρίως βιβλία μαθηματικών. Είναι βιβλία διαπνεόμενα από μυστικισμό και μας μιλούν για το σουξέ που είχε ο φ διατηρούμενος σαν λείψανο από τους αρχαίος μύστες, μας λένε πως ο φ είναι ένα μυστικό της ομορφιάς το οποίο διατηρήθηκε και πως δεν είναι τυχαίο ότι η πρόσοψη του Παρθενώνα εγγράφεται σε ένα χρυσό ορθογώνιο με πλευρές που έχουν λόγο φ. Στην ευρωπαϊκή παράδοση ο όρος «χρυσή τομή» κάνει την εμφάνισή του στο έργο του Leonardo Da Vinci σε γλώσσα λατινική ως sectio aurea.
Η χρυσή του συμβόλου «φ» εμφανίζεται πολύ αργότερα ύστερα από πρόταση του αμερικανού μαθηματικού Mark Barr. Το πρότεινε ως αρχικό του ονόματος του γλύπτη Φειδία ο οποίος χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή στα σχέδια των έργων του.



ο φ και η Γεωμετρία

Χρυσό τρίγωνο
Χρυσό λέγεται κάθε ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή θα είναι ίσος με φ. Κάθε ισοσκελές με γωνία κορυφής 36 μοίρες είναι χρυσό. Μπορούμε να το αποδείξουμε φέρνοντας τη διχοτόμο μιας από τις παρά τη βάση γωνίες.


Το αστέρι των Πυθαγορείων
Το σύμβολο της αδελφότητας των Πυθαγορείων ήταν το «πεντάγραμμο», το αστέρι δηλαδή που σχηματίζεται από τις πέντε διαγωνίους του κανονικού πενταγώνου. Αποδεικνύεται ότι κάθε πλευρά του «πενταγράμμου» διαιρεί τις δύο άλλες σε χρυσή τομή. Κάθε γωνία του «πενταγράμμου» είναι 36 μοίρες.


Χρυσό ορθογώνιο
Το χρυσό ορθογώνιο έχει λόγο των πλευρών του ίσο με φ.Δηλ. α/β = φ . Αν του αποκόψουμε ένα τετράγωνο με πλευρά β, το ορθογώνιο με πλευρές β, γ που θα απομείνει θα είναι και πάλι χρυσό, θα είναι δηλαδή β/γ = φ και αυτό θα συνεχίζεται επ’ άπειρον.

Χρυσό σπιράλ, κοχύλια και ηλιοτρόπια
Εάν, αντί να χρησιμοποιήσουμε το ψαλίδι σχεδιάσουμε πάνω στο αρχικό ορθογώνιο τις τομές και σε κάθε τετράγωνο που δημιουργείται σχεδιάσουμε τα αντίστοιχα τεταρτοκύκλια θα έχουμε αρχίσει να φτιάχνουμε το χρυσό ελικοειδές, το σπιράλ που σχεδιάζει η φύση και το διακρίνουμε στα κουκουνάρια, στα κοχύλια, στα ηλιοτρόπια και στους τρόπους με τους οποίους διευθετούνται τα πέταλα, τα φύλλα και τα κλαδιά ποικίλων προσωρινών κατοίκων της γήινης βιόσφαιρας.





Μαρία